ترقیات

گاس (1777 - 1855) کو ریاضی میں سب سے بڑے ذہین میں سے ایک سمجھا جاتا تھا اور وہ وہ تھا جس نے ترقی کے حساب کتاب کو متعارف کرانے میں یقینی طور پر تعاون کیا۔

ترقی ایک اہم ٹول کی نمائندگی کرتی ہے، کیونکہ ان کا اطلاق مالی ریاضی کے حالات میں پایا جاتا ہے۔ سادہ دلچسپی کا تعلق ریاضی کی ترقی سے ہو سکتا ہے اور مرکب دلچسپی ہندسی ترقی سے منسلک ہے۔

پیشرفت سے متعلق مطالعہ محدود یا لامحدود منطقی ترتیب پر مبنی ہوتے ہیں اور ان کو کفایتی افعال اور جیومیٹری میں پایا جا سکتا ہے۔

پیشرفت عددی ترتیب ہیں جو ان کی متعلقہ خصوصیات کے ساتھ کام کرتی ہیں۔

ایک ترتیب کی اصطلاحات کا اظہار تشکیل کے قانون کے ذریعہ کیا جاتا ہے، یعنی، ہم ترتیب میں کسی بھی اصطلاح کو اظہار سے حاصل کر سکتے ہیں، جو اصطلاح کو اس کے مقام سے جوڑتا ہے، ایک ایسا اظہار تشکیل دیتا ہے جو ترتیب کی عمومی اصطلاح کو جنم دیتا ہے۔

اس طرح، ہم ایک اظہار پیدا کر سکتے ہیں جس میں عام اصطلاح کی پوزیشن ترتیب میں اصطلاحات کی تعداد کے کام کے برابر ہو گی۔

ریاضی کی ترقی ایک ترتیب ہے جس کا تعین اس طرح کیا جاتا ہے کہ، دوسری اصطلاح سے شروع ہو کر، ایک مستقل k کو پیشرو اصطلاح میں شامل کیا جاتا ہے۔ اس مستقل کو ریاضی کی ترقی کا تناسب کہا جاتا ہے، اور اس کے ساتھ ہمیں جانشین کی اصطلاح ملتی ہے۔ مثال: قدرتی اعداد (1, 2, 3, 4, 5, 6,n, …), جہاں تناسب 1 کے برابر ہے۔

ہندسی ترقی ایک ترتیب ہے جس کا تعین اس طرح کیا جاتا ہے کہ، دوسری اصطلاح سے شروع ہو کر، پچھلے کو ایک مستقل k سے ضرب کیا جاتا ہے، جو ہندسی ترقی کا تناسب ہے۔ اس میں، ترقی کے جانشین کی اصطلاح کو تلاش کرنا بھی ممکن ہے۔ مثال: ترتیب (5، 15، 45، 135، n، …)، جہاں تناسب 3 کے برابر ہے اور پہلی اصطلاح 5 کے برابر ہے۔